Maths Licence Les 150 théorèmes d'analyse incontournables
Existe au format livre et ebook
Présentation du livre
Cet ouvrage d’analyse propose de plonger au coeur de 150 théorèmes mathématiques et de les comprendre en profondeur à travers une démarche pratique et active. Les démonstrations sont menées de manière claire et détaillée, à travers la résolution de problèmes corrigés.
Chaque section commence par un cadre théorique où les prérequis et les définitions essentielles sont clarifiés. La rubrique « résultats » présente les théorèmes ou séries de résultats clés étudiés. Un encart historique vient enrichir l’exposé.
Le coeur de chaque section réside dans un problème spécialement conçu pour démontrer l’ensemble des résultats présentés. Cette approche interactive offre l’occasion de pratiquer les mathématiques tout en consolidant la compréhension des preuves. Une correction détaillée vient conclure la section.
Ce véritable outil d’apprentissage permettra au lecteur de consolider ses connaissances ou de se préparer aux examens et aux concours de l’enseignement.
Indispensable aux étudiants de Licence, il accompagnera également les élèves de classes préparatoires dans la préparation des colles. Enfin, pour les candidats au CAPES et à l’agrégation, il présente un double avantage : assimiler et maîtriser les développements requis lors des épreuves orales tout en se préparant aux épreuves écrites.
Sommaire de l'ouvrage
1. Les suites numériques. L'inégalité triangulaire, caractérisations de la borne supérieure, les grands théorèmes des suites convergentes, propriété d'Archimède et densité de Q dans R, Théorèmes des suites adjacentes et des segments emboîtés, théorème de Bolzano-Weierstrass et applications.
2. Espaces vectoriels normés. Contexte, caractérisation séquentielle d'un fermé, normes sur un espace vectoriel, adhérence et valeur d'adhérence, théorème de Borel-Lebesgue, fonctions continues sur un compact, théorème de Heine, compacité en dimension finie, espaces de Banach, théorème de Riesz, théorème du point fixe de Banach-Picard, continuité et applications linéaires, suites d'applications, fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux.
3. Continuité et dérivabilité des fonctions à valeurs réelles. Théorème de Rolle et ses corollaires, théorème de Bolzano et ses corollaires, théorème de la bijection, binôme de Newton et formule de Leibniz, les différentes formules de Taylor, théorème de Weierstrass
4. Intégration sur un segment. Intégrale d'une fonction continue par morceaux, théorème fondamental de l'analyse, sommes de Riemann et l améthode des rectangles, intégration par parties et changements de variable, lemme de Riemann-Lebesgue, formules de la moyenne, intégration et dérivation d'une suite de fonctions.
5. Intégrales généralisées. Cas des fonctions positives, comparaison aux intégrales de Riemann, critère de Cauchy et règle d'Abel pour les intégrales, intégrales dépendant d'un paramètre.
6. Séries numériques. Généralités sur les séries numériques, théorèmes de convergence des séries à termes positifs, test intégral pour les séries, règle de Cauchy, de d'Alembert et de Raabe-Duhamel, critère spécial des séries alternées et règle d'Abel, produit de Cauchy et théorème de Cauchy-Mertens.
7. Séries de fonctions. Les différents types de convergence, propriétés de la somme d'une série de fonctions.
8. Séries entières. Rayon de convergence, propriétés de la fonction s
