La planète R

Cet ouvrage explore la «planète» R, ensemble des nombres réels, en décrivant de façon élémentaire et imagée ses habitants et leurs propriétés. De nombreux exemples remarquables du point de vue arithmétique ou topologique sont présentés. Les thèmes sont abordés comme s'il s'agissait d'histoires courtes, indépendantes les unes des autres. Un index détaillé permet de naviguer d'un sujet à l'autre. Les démonstrations, classiques ou originales, sont élégantes sans être trop approfondies, compte tenu du public visé. Elles sont parfois illustrées par des exercices dont les corrections sont données en fin d'ouvrage.

Sommaire

Aspect arithmétique. La découverte de Pythagore. Euler et l'irrationalité de e. Le théorème de Lambert. Le théorème d'Hermite. Le théorème de Lindemann. Euler et la fonction Zêta de Riemann. Théorèmes et nombres de Liouville. Trois problèmes célèbres. Les nombres constructibles. Transcendance de e^a où a est algébrique non nul. Constructions, architecture et représentations. Les réels tels qu'on les rêve... Les réels existent : les coupures de Dedekind. Les réels existent : les suites de Cauchy. Unicité de R. Topologie de l'ensemble des réels. Le cardinal de l'ensemble des réels. Représentation des réels : écriture dans une base. Les fractions continues. Quelques sous-ensembles remarquables de R : Les parties connexes et la propriété de la valeur intermédiaire. Le théorème de Cantor sur l'ordre des rationnels. Les parfaits de R et le théorème de Cantor-Bendixon. Les sous-groupes additifs de R. De Jordan à Lebesgue : longueur d'une partie de R. L'ensemble de Cantor. Espaces compacts et ensemble de Cantor. Une caractérisation des segments. Parties de R de première et de seconde catégories de Baire. Quelques bases utiles. Rudiments de théorie des ensembles. Rudiments de topologie générale. Vocabulaire de l'algèbre générale.

Biographie des auteurs
Hassan Boualem - Maître de conférences à l'universitéMontpellier 2
Robert Brouzet - Maître de conférences à l'université Montpellier 2

Publics

Étudiants en 2^e cycle de mathématiques ; Candidats au CAPES ou à l'agrégation de mathématiques ; Enseignants du secondaire ; Amateurs

Mots-clés

Théorie des nombres, Arithmétique, Nombres réels, Euler, Cantor